從初中的銳角三角函數（對邊／斜邊）出發，當我們面對大於 $90^\circ$ 或負角時，幾何上的直角三角形已不再適用。此時，單位圓成為了統一所有角度、定義三角函數的靈魂工具。
1. 任意角的三角函數定義
設 $\alpha$ 為一個任意角，其終邊與單位圓相交於點 $P(x, y)$，則定義：
- 正弦（Sine）： $\sin \alpha = y$
- 餘弦（Cosine）： $\cos \alpha = x$
- 正切（Tangent）： $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
若點 $P(x, y)$ 位於半徑為 $r$ 的圓上，則 $\sin \alpha = \frac{y}{r}$，$\cos \alpha = \frac{x}{r}$，$\tan \alpha = \frac{y}{x}$。
2. 同角基本關係式
由單位圓的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 直接導出：
1. 平方關係： $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. 商數關係： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. 商數關係： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
此外，在高等數學中，三角函數還可透過泰勒公式進行數值近似計算，例如：$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$，這展現了三角函數與代數多項式之間的深層聯繫。
1. 收集多項式的各項：一個 $x^2$ 正方形，三個 $x$ 矩形條，以及兩個 $1 \times 1$ 個單位正方形。
2. 開始將它們在幾何上進行拼接。
3. 它們完美地形成了一個更大的連續長方形！寬度為 $(x+2)$，高度為 $(x+1)$。
題目 1
寫出與 $60^\circ$ 終邊相同的角的集合，並找出符合不等式 $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$ 的元素 $\beta$。
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
集合 $\{ \beta \mid \beta = 60^\circ \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
正確！
正確！終邊相同的角相差 $360^\circ$ 的整數倍。當 $k=0$ 時 $\beta=60^\circ$，當 $k=-1$ 時 $\beta=-300^\circ$，皆符合範圍條件。
錯誤
提示：終邊相同的角的一般形式為 $k \cdot 360^\circ + \alpha$。在該範圍內尋找符合條件的 $k$ 值。
題目 2
已知 $\alpha$ 為銳角，那麼 $2\alpha$ 是（ ）。
第一象限角
第二象限角
小於 $180^\circ$ 的正角
第一或第二象限角
正確！
正確。因為 $\alpha$ 為銳角，即 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$，所以 $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$。注意 $2\alpha$ 可能為直角，未必屬於某個象限。
錯誤
注意：銳角範圍為 $(0, 90^\circ)$，兩倍後範圍為 $(0, 180^\circ)$。包含第一象限、第二象限及界線 $90^\circ$。
題目 3
已知角 $\theta$ 的終邊經過點 $P(-12, 5)$，求 $\sin \theta$ 的值。
$\dfrac{5}{13}$
$-\dfrac{12}{13}$
$-\dfrac{5}{12}$
$\dfrac{13}{5}$
正確！
正確！首先計算 $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$。根據定義 $\sin \theta = y/r = 5/13$。
錯誤
計算 $r$：$r = \sqrt{x^2 + y^2}$。正弦值的定義為 $y/r$。
題目 4
（口答）設 $\alpha$ 為三角形的一個內角，在 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$ 中，哪些可能取負值？
僅 $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ 與 $\tan \alpha$
三者皆有可能
僅 $\tan \alpha$
正確！
正確。三角形內角範圍為 $(0, \pi)$。在第一象限 $(0, \pi/2)$ 全為正；在第二象限 $(\pi/2, \pi)$（鈍角），正弦為正，餘弦與正切皆為負。
錯誤
提示：三角形內角可能為銳角、直角或鈍角。考慮鈍角位於第二象限時的函數符號。
題目 5
用五點法畫 $y = -\sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的圖象，以下哪個點非其關鍵點？
$(0, 0)$
$(\frac{\pi}{2}, -1)$
$(\frac{\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
$(\pi, 0)$
正確！
正確。五點法通常取週期的四分之一點，即 $0$、$\frac{\pi}{2}$、$\pi$、$\frac{3\pi}{2}$、$2\pi$ 及其對應的函數值。$\frac{\pi}{4}$ 非五點法之標準關鍵點。
錯誤
五點法選取的是函數取得最值與零點之關鍵位置。
題目 6
下列函數中，既是奇函數又是週期為 $\pi$ 的函數是（ ）。
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正確！
正確。$y = \sin 2x$ 為奇函數，且週期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。注意 $y = \tan x$ 儘管亦為奇函數且週期為 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中題目中更常作為此類型之標準答案。
錯誤
檢查週期公式 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ 及奇偶性 $f(-x) = -f(x)$。
題目 7
不經求值，比較 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 與 $\cos(-\frac{3\pi}{5})$ 之大小。
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
相等
無法比較
正確！
正確。$\cos(-\frac{3\pi}{5}) = \cos(\frac{3\pi}{5})$。由於 $\frac{2\pi}{7} < \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5}$，且餘弦函數在 $[0, \pi]$ 上單調遞減，故較小之角對應之餘弦值較大。
錯誤
提示：利用誘導公式 $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$。並在同一下單調區間內比較角度大小。
題目 8
已知函數 $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$，其最小正週期為（ ）。
$\pi$
$2\pi$
$\frac{\pi}{2}$
$4\pi$
正確！
正確。根據週期公式 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$，此處 $\omega = 2$，故 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。
錯誤
週期公式：$T = \frac{2\pi}{\omega}$。
題目 9
求 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$ 之值。
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$\dfrac{1}{8}$
正確！
正確。利用二倍角公式的逆運用：$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$。因此 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{4}$。
錯誤
提示：使用二倍角公式 $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$。
題目 10
已知 $\sin \beta + \cos \beta = \frac{1}{5}$，$\beta \in (0, \pi)$，則 $\tan \beta$ 之值為（ ）。
$-\dfrac{4}{3}$
$\dfrac{3}{4}$
$-\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{4}{3}$
正確！
正確。兩邊平方：$1 + 2\sin \beta \cos \beta = \frac{1}{25} \implies \sin 2\beta = -\frac{24}{25}$。因和為正且積為負，故 $\sin \beta > 0$，$\cos \beta < 0$（第二象限）。解得 $\sin \beta = \frac{4}{5}$，$\cos \beta = -\frac{3}{5}$，故 $\tan \beta = -\frac{4}{3}$。
錯誤
提示：將等式平方求出 $\sin \beta \cos \beta$，結合 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 解出具體之正餘弦值。
挑戰：摩天輪的三角建模
實際週期性現象分析
某摩天輪最高點距地面 120 公尺，最低點距地面 10 公尺，摩天輪旋轉一周需 30 分鐘。假設摩天輪勻速旋轉，遊客自最低點進入座艙開始計時。
Q1
求遊客距地面高度 $h$（公尺）與時間 $t$（分鐘）之函數解析式。
詳細解析：
1. 振幅 $A$： 半徑為 $(120 - 10) / 2 = 55$ 公尺。
2. 垂直位移 $k$： 中心高度為 $(120 + 10) / 2 = 65$ 公尺。
3. 角速度 $\omega$： 週期 $T = 30$，則 $\omega = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15}$。
4. 相位 $\phi$： $t = 0$ 時處於最低點 $h = 10$。設 $h(t) = 55\sin\left(\frac{\pi}{15}t + \phi\right) + 65$。當 $t = 0$ 時，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\frac{\pi}{2}$。
解析式： $h(t) = 55\sin\left(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right)$。
1. 振幅 $A$： 半徑為 $(120 - 10) / 2 = 55$ 公尺。
2. 垂直位移 $k$： 中心高度為 $(120 + 10) / 2 = 65$ 公尺。
3. 角速度 $\omega$： 週期 $T = 30$，則 $\omega = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15}$。
4. 相位 $\phi$： $t = 0$ 時處於最低點 $h = 10$。設 $h(t) = 55\sin\left(\frac{\pi}{15}t + \phi\right) + 65$。當 $t = 0$ 時，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\frac{\pi}{2}$。
解析式： $h(t) = 55\sin\left(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}\right) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right)$。
Q2
遊客開始旋轉 5 分鐘後，距地面高度為多少？
詳細解析：
將 $t = 5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos\left(\frac{\pi}{15} \cdot 5\right) = 65 - 55\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$h(5) = 65 - 55 \cdot \frac{1}{2} = 65 - 27.5 = 37.5$ 公尺。
結論： 高度為 37.5 公尺。
將 $t = 5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos\left(\frac{\pi}{15} \cdot 5\right) = 65 - 55\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$h(5) = 65 - 55 \cdot \frac{1}{2} = 65 - 27.5 = 37.5$ 公尺。
結論： 高度為 37.5 公尺。
Q3
若座艙勻速旋轉，經過 $\frac{1}{2}$ 週期後，座艙之位置變化於單位圓投影上如何體現？
詳細解析：
經過半週期（15 分鐘），角度增加 $\pi$ 弧度。在單位圓上，表示點 $P(x, y)$ 旋轉至關於原點對稱之點 $P'(-x, -y)$。在三角函數中表現為誘導公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，若原本位於最低點，半週期後必在最高點。
經過半週期（15 分鐘），角度增加 $\pi$ 弧度。在單位圓上，表示點 $P(x, y)$ 旋轉至關於原點對稱之點 $P'(-x, -y)$。在三角函數中表現為誘導公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，若原本位於最低點，半週期後必在最高點。
✨ 核心要點
單位圓上觀坐標，$y$ 為正弦 $x$ 餘弦。平方相加恆等於一，比值正切永流傳！
💡 坐標即函數值
記住「單位圓」是核心。終邊與單位圓交點之橫坐標 $x$ 即為 $\cos \alpha$，縱坐標 $y$ 即為 $\sin \alpha$。
💡 象限符號口訣
「一全正，二正弦，三正切，四餘弦」。這決定了你在進行開方運算時如何選擇正負號。
💡 正切的定義域
因 $\tan \alpha = \frac{y}{x}$，當終邊位於 $y$ 軸上時（即 $\alpha = k\pi + \frac{\pi}{2}$），$x = 0$，此時正切值無意義。
💡 弧度制提醒
應用泰勒公式或物理週期模型（$T = \frac{2\pi}{\omega}$）時，角度必須使用弧度制。
💡 五點法作圖
繪製正餘弦曲線時，準確找出三個零點與兩個最值點，以平滑的「波浪線」連接。